http://nineties.github.io/category-seminar/
これを読んだらちょっとだけ圏論がわかった気がする。
Haskellのforallは三通りの解釈ができる。
(1)プログラム的解釈・・・ポリモルフィズム
(2)圏論的解釈・・・自然変換
(3)論理学的解釈・・・全称量化子
てことでいいのかな？
任意のモノイドは適当な集合AについてEnd(A)の部分モノイドと同型であることの証明
モノイド$(M, *)$について、 $A = M$ と定める。
また、 $B$は$End(A)$の部分モノイドとし、その要素は $B = \left\{ f | m ∈ M, f(x) = m*x\right\}$ と定める。 ($B ⊆ End(M) = End(A)$)
モノイド$(M, *)$と、モノイド$B$が同型であることを示す。
(1)
ここでは可読性のため、$F(m) = Fm, F(n) = Fn$と表記する。
$F : B \rightarrow M, Fm(x) = m*x$ とする。
$
\begin{aligned}
(F(m*n))(x) &= m*n*x \\
&= m*(n*x) \\
&= m*Fn(x) \\
&= Fm(Fn(x)) \\
&= (Fm \circ Fn)(x) \\
\end{aligned}
$
$∴ F(m*n) = F(m) \circ F(n)$
したがって、$(M, *)$から$B$への準同型が存在する。
(2)
$e$が$M$の単位元で、$G : B \rightarrow M, G(f) = f(e)$とすると、
$
\begin{aligned}
G(f \circ g)& = (f \circ g)(e) \\
& = f(g(e)) \\
& = f(m*e) & (m ∈ M) \\
& = f(m) \\
& = n*m & (n ∈ M) \\
& = n*e*m*e \\
& = f(e)*g(e) \\
& = G(f)*G(g) \\
\end{aligned}
$
$\therefore G(f \circ g) = G(f)*G(g)$
したがって、$B$から$(M, *)$への準同型が存在する。
以上より、モノイド$(M, *)$とモノイド$B$は同型。 したがって、任意のモノイドは適当な集合Aについて$End(A)$の部分モノイドと同型である。∎