二次元状に無限にタイルが並べられている。それぞれに固有の自然数のIDを割り当てる時、らせん状に0, 1, 2, 3, …としていけば良い。実際、$ |\mathbb{Z}^2| = |\mathbb{N}| = \aleph_0 $であるので、全てのタイルに固有の自然数のIDを割り当てることができるプログラムが存在することがわかる。
では、曼荼羅のようにして、あるタイルの中に、さらにタイル平面が存在し、そのタイルの中に、さらにタイル平面が存在し、・・・というふうに、階層構造になっているときはどうだろう？この場合、タイルのIDは自然数の可変長配列で表される。すなわち、濃度は$\underbrace{1 + \aleph_0 + \aleph_0^2 + \aleph_0^3 + \dots}_{\aleph_0} = \aleph_1 $になる。
$\mathbb{Z^2}$の可変長配列は、$(n, \{0..n-1\} \rightarrow \mathbb{Z^2})$とも書けるか。
ちなみに、$\mathbb{Z^2}$の無限長配列$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z^2}$の全体の濃度は、$ |\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z^2}| = |(\mathbb{Z^2})^{|\mathbb{N}|}| = \aleph_1 $
2018/04/06訂正
ごめんなさい。$ |2^{\mathbb{N}}| = \aleph_1 $はまずいですね…
本稿の$\aleph_1$を$|\mathbb{R}|$に読み直してください。